Estimación de longitud crítica en pendientes ascendentes en caminos bidireccionales

Estimation of critical length in ascending grades of two-lane rural roads

 

Tomás Echaveguren1 , Diego Carrasco*

* Universidad de Concepción, Concepción. CHILE

Dirección de Correspondencia


RESUMEN

La pendiente ascendente máxima en un camino bidireccional se utiliza como criterio para determinar la necesidad de pistas de ascenso para vehículos pesados. Para ello, se necesita contar con un perfil de velocidad que depende de la inclinación y longitud de la pendiente y de las características dinámicas, físicas y mecánicas de los vehículos pesados. La normativa Chilena utiliza un perfil de velocidad para un vehículo tipo de relación peso/potencia de 120 kg/kW y una velocidad de entrada a la pendiente de 88 km/h. Este único modelo impide analizar casos en que la velocidad de entrada es significativamente distinta o casos en que el vehículo de diseño puede ser distinto debido a condiciones locales y por tanto no permite estimar valores realistas de pendientes máximas. En ese trabajo se simularon modelos de velocidad basados en aceleraciones y en equilibrio de fuerzas para proponer nuevos valores de pendientes máximas considerando razones peso/potencia entre 120 y 263 kg/kW, velocidades de entrada a la pendiente entre 80 y 100 km/h y reducciones admisibles de velocidad entre 10 y 30 km/h. Se obtuvieron diversos valores de longitud máxima de pendiente, lo cual permite a los diseñadores contar con más opciones para proyectar pendientes ascendentes.

Palabras claves: Velocidad, perfil de velocidad, pendiente ascendente máxima, vehículo pesado, razón peso/potencia


ABSTRACT

The critical length of grade on two-lane rural roads is used as criterion to assess the need of ascending lanes for heavy vehicles. To estimate it, a speed profile is needed, which depends on the road's grade and length, and on the physical, dynamic and mechanical characteristics of heavy vehicles. The Chilean standard uses a speed profile for a design truck that have a weight-to-power ratio of 120 kg/kW and an entrance speed of 88 km/h. This unique model prevents from studying cases in which the entrance speed can be different or in which the design vehicle is significantly different to the design speed of standards due to local conditions and consequently, does not allow estimating realistic critical lengths of grades. In this work, speed profiles models based on acceleration and force equilibrium were simulated, considering weight-to-power ratios between 120 and 263 kg/kW, entrance speeds between 80 and 100 km/h. Several values of critical lengths of grades were estimated, which offers engineers more options when designing ascending slopes.

Keywords: Speed, speed profile, critical length of grade, heavy vehicle, weight-to-power ratio


1. Introducción

Los perfiles de velocidad describen cómo varía la velocidad de operación de un vehículo pesado a medida que avanza por una pendiente. En pendientes ascendentes, las instrucciones de diseño los utilizan para evaluar la necesidad de proyectar pistas de ascenso bajo criterios de seguridad y nivel de servicio, o bien para establecer la inclinación y longitud máxima de una pendientes ascendente para prescindir de una pista de ascenso. Las principales variables que explican esta pérdida de velocidad son la inclinación y la longitud de la pendiente, la razón peso/potencia (RPP) del vehículo y la velocidad con que ingresa a la pendiente (Fitch, 1994). Para una misma geometría de pendiente ascendente, el comportamiento de vehículos pesados similares en cuanto a RPP puede diferir notablemente dependiendo de la velocidad de entrada. Asimismo, si se considera la variabilidad del parque vehicular en cuanto a RPP, el comportamiento puede diferir también, por lo cual en la práctica, cada vehículo pesado tendrá un único perfil de velocidad.

Las normativas usan perfiles de velocidad considerando un vehículo de diseño, con una potencia típica, con una velocidad única de ingreso a la pendiente, para pendientes uniformes de hasta el 10 % y longitudes en pendiente que varían entre 0 y 6 km (Arellano et al., 2014). Las instrucciones de diseño de Chile, definen las pendientes longitudinales máximas en base a un perfil de velocidad estándar adoptado de la normativa de Estados Unidos. Dicho perfil de velocidad considera un vehículo de diseño cuya RPP es de 120 kg/kW, una velocidad de entrada única de 88 km/h, un rango de inclinación de 1 a 8 % y una longitud de la pendiente entre 0 y 3 km (MOP, 2014).

Al usar la normativa Chilena un solo perfil de velocidad, no permite considerar condiciones de diseño variadas, como por ejemplo el efecto de elementos de restricción de velocidad que limiten la velocidad de entrada o, a la inversa, trazados amplios que alienten a los conductores a usar velocidades de operación mayores. Asimismo, la RPP actualmente propuesta en el Manual de Carreteras no representa necesariamente las características de la flota de vehículos pesados. Arellano et al. (2014) determinaron indirectamente que esta varía entre 95 kg/kW y 609 kg/kW con una predominancia entre 100 y 160 kg/kW. Por tanto, contar con perfiles de velocidad de vehículos de diseño con mayor similitud a la flota actual y modelos y con más opciones de velocidades de entrada, permite contar con una mayor diversidad de condiciones de diseño, lo que permite en definitiva mejorar los diseños geométricos.

Por lo anterior, en este trabajo se proponen nuevos perfiles de velocidad de camiones en pendientes ascendentes, para distintas combinaciones de RPP y velocidades de entrada. A partir de dichos perfiles se proponen nuevos gráficos de longitud crítica para definir pendientes longitudinales máximas para caminos bidireccionales.

Para ello se analizaron modelos teóricos de velocidad y normas de diseño geométrico de caminos que incluyeron perfiles de velocidad para el diseño de pendientes ascendentes. Se simuló un modelo teórico de velocidad a partir de los modelos de Bester (2000) y Rakha y Yu (2004). A partir de estos modelos simulados se obtuvieron nueve perfiles de velocidad para combinaciones de tres RPP (120, 150 y 263 kg/kW) y tres velocidades de entrada a la pendiente (80, 90 y 100 km/h). Con estos perfiles se elaboraron nueve gráficos de longitud crítica de pendiente para reducciones admisibles de velocidad (AV) de 10 a 30 km/h y para cada una de las RPP y velocidades de entrada. Finalmente, los resultados obtenidos se compararon con los valores de longitud crítica recomendados en el Manual de Carreteras de Chile y la norma de diseño de Estados Unidos.

 

2. Los modelos de velocidad en pendientes ascendentes

En la Figura 1 se esquematiza los dos tipos de perfiles de velocidad dependiendo del signo de la pendiente uniforme.

Figura 1. Perfil teórico de velocidad en pendientes uniformes (Arellano et al., 2011)

 

En pendientes ascendentes la velocidad disminuye desde un valor inicial (punto B) hasta una velocidad de equilibrio (punto D) (también conocida como velocidad de trepada o crawl speed), la cual se mantiene aproximadamente constante hasta el término de la pendiente uniforme (F). Esta desaceleración ocurre debido al aumento de las fuerzas resistivas frente a la fuerza proporcionada por el motor (Rakha y Yu, 2004) llegando hasta un valor nulo (Punto C). La velocidad de equilibrio corresponde a la máxima velocidad que puede alcanzar un vehículo pesado que circula por una pendiente longitudinal. La magnitud y la distancia a la que se alcanza esta velocidad, depende de (Archilla y Fernández de Cieza, 1996): la longitud del tramo en subida, la inclinación de la pendiente ascendente, la RPP del vehículo, la altura sobre el nivel del mar, la velocidad inicial del vehículo, la presencia de curvas horizontales y las restricciones laterales.

Los modelos que explican este comportamiento se agrupan en dos categorías (Arellano et al., 2014): aquellos basados en comportamiento dinámico y aquellos basados en el comportamiento cinemático. Los modelos dinámicos describen el equilibrio entre la fuerza tractriz (FT ) la fuerza aerodinámica (FA), la resistencia al rodado (FR) y la resistencia asociada al peso (FG). Cuando la fuerza tractriz es superior a la suma de las resistencias, la fuerza remanente (Ma) permite el movimiento (tramo AC o BD de la Figura 1). Cuando esta fuerza remanente es nula (Ma=0), el vehículo se desplaza a la velocidad de equilibrio (Tramo CE y DF de la Figura 1). En esta categoría de modelos, los de Lee y Lee (2000) y de Rakha et al. (2001) son los más relevantes.

La Ecuación 1 muestra el modelo de Rakha et al. (2001) basado en equilibrio de fuerzas. La Ecuación 2 muestra la solución discreta de la ecuación diferencial: que permite obtener el perfil de velocidad en función de la distancia a partir de la Ecuación 1. P (N) corresponde a la potencia efectiva del vehículo pesado, a (m/s2) a la aceleración, V (km/h) a la velocidad, FMAX (eN) a la potencia máxima, m (kg) a la masa, g (m/s2) la aceleración de gravedad, i (%) a la inclinación de la pendiente, ti (s) un instante de tiempo en que el vehículo se encuentra en la posición xi, a corresponde a la aceleración, Δt (s)el paso de tiempo de integración y α¡ son coeficientes del modelo. La expresión detallada puede verse en Rakha y Yu (2004).

 

(1)

 

(2)

 

Los modelos cinemáticos construyen el perfil de velocidad a partir de las variables: desplazamiento, velocidad y aceleración. La aceleración se modela mediante especificaciones lineales como el de Bester (2000) (Ecuación 3) o no lineales como el de Lan y Menendez (2003).

(3)

 

En Chile Arellano et al. (2014) calibraron el modelo de aceleración de Bester (2000) (Ecuación 3) en base a datos de velocidad y posición obtenidos con GPS, para un rango de RPP entre 100 y 160 kg/kW y una velocidad de entrada de 93 km/h, a partir del cual obtuvieron perfiles de velocidad. Determinaron que la velocidad de entrada utilizada en el Manual de Carreteras de Chile (MOP, 2014) corresponde al percentil 82 de la distribución de velocidades observada en terreno y que la velocidad de equilibrio resultaba 1.15 veces mayor que la predicha por el modelo descrito en MOP (2014).

 

3. La longitud crítica en pendientes ascendentes

La longitud crítica de una pendiente ascendente es la longitud máxima sobre la cual un vehículo pesado circula sin ver reducida su velocidad respecto de la velocidad de entrada a la pendiente en una cierta cantidad. La disminución de la velocidad de operación de vehículos pesados aumenta el riesgo de accidentes en vías bidireccionales de dos pistas, debido a que los vehículos livianos se ven obligados a adelantar. Glennon (1970) mostró que independiente del valor de la velocidad media de la carretera, cuanto más se desvía un vehículo de esta velocidad media, mayor es la probabilidad de verse implicado en un accidente. La Figura 2 muestra gráficamente cómo varía la tasa de accidentes cuando un vehículo pesado disminuye su velocidad en la pendiente.

Si no es posible restringir la pendiente a su longitud crítica, existe la opción de diseñar una pista exclusiva para el ascenso de vehículos pesados. Para estimar la longitud crítica se grafica para la totalidad de las combinaciones pendiente (i en %), longitud en pendiente (L, en m), la distancia a partir del inicio de la pendiente, en que el vehículo reduce su velocidad ΔV km/h. Para obtener esta gráfica es necesario contar con perfiles de velocidad, como los descritos en la sección 2 de este artículo.

Figura 2. Accidentes en función de la reducción de velocidad (Glennon, 1970)

 

En la Figura 3a se muestra el gráfico de diseño usado en las recomendaciones de diseño de Estados Unidos y en la Figura 3b el gráfico de diseño de la normativa de Chile estimado a partir del modelo de perfil de velocidad de TRB (1994).

Figura 3. Gráficas de cálculo de longitud crítica (AASHTO, 2011; MOP, 2014)

 

Actualmente la norma AASHTO (2011) estable una reducción de velocidad máxima de 15 km/h, que corresponde aproximadamente a 500 accidentes/108 km. La normativa Chilena adopta una reducción de velocidad máxima de 40 km/h lo que implica un potencial de accidentes mayor.

 

4. Estimación de nuevos valores de longitud máxima en pendientes

La estimación de nuevos valores de longitud crítica se desarrolló en tres etapas. En la primera se definieron las condiciones de análisis, en la segunda se simularon los perfiles de velocidad y en la tercera se calcularon valores de longitud crítica.

4.1 Condiciones de cálculo

Para efectuar los cálculos se consideraron combinaciones la velocidad de entrada a la pendiente, la RPP y la geometría en alzado. La velocidad de entrada en la pendiente se seleccionó considerando las velocidades de proyecto asociadas cada una de las categorías de diseño establecidas en MOP (2014). Las velocidades utilizadas fueron de 80, 90 y 10 km/h, que corresponden a las categorías de camino Primario y Colector, ambas para vías bidireccionales. Este rango de velocidades además considera los tipos de terreno llano, ondulado y montañoso. Las velocidades asociadas a las categorías superiores no se consideraron asumiendo que, en general, corresponden a vías con calzadas separadas y pendientes menos inclinadas que por diseño no inducen el mismo fenómeno que en caminos bidireccionales. Las categorías inferiores en tanto, llevan a considerar velocidades de entrada suficientemente bajas como para que la diferencia respecto de la velocidad de equilibrio sea inferior a los valores críticos, por lo cual el fenómeno de accidentalidad no es tan relevante como en los casos en estudio. En cuanto a la RPP se consideraron 3 valores: 120, 150, 263 kg/kW. El primero corresponde al actualmente usado en MOP (2014), el segundo se basa en los resultados del trabajo de Arellano et al. (2014) y el tercero corresponde a vehículos pesados con peso bruto total de 90 toneladas, correspondiente a configuraciones de alto tonelaje de acuerdo a Díaz (2012). Este último se analizó asumiendo que podrían utilizarse en Chile para reducir costos de transporte. La geometría se especificó considerando lo establecido en MOP (2014) para el diseño geométrico en alzado: un rango de pendientes entre 1 % y 8 % y una longitud máxima en pendiente de 3 km.

4.2 Simulación de perfiles de velocidad

Para cada combinación de velocidad de entrada, RPP y geometría se simuló el modelo de Rakha et al. (2001) usando las Ecuaciones 1 y 2. Posteriormente se ajustó el modelo de Bester (2000) para estimar los valores de α y ß. Se consideró que ambos modelos se ajustaban cuando el valor de error cuadrático medio (RMS) era inferior a 0.5 km/h. Con eso se obtuvieron valores de α = 0.948 ± 0.17 y ß = 0.043 ± 0.01. La variabilidad de estos coeficientes se debió a las combinaciones de valores de velocidad de entrada, RPP y geometría utilizadas. Los valores de a dependen de la velocidad de entrada, de la RPP y de la geometría, por lo cual son únicos para cada combinación de valores de estas variables. Considerando la baja variabilidad de ß se asumió un valor de 0.043. Los valores de a utilizados corresponden a los calculados para cada combinación de geometría RPP y velocidad de entrada. Con estos parámetros se reconstruyeron 9 perfiles de velocidad en función de la distancia. Usando el procedimiento de calibración del modelo de Bester (2000) descrito en Arellano et al. (2014). La Figura 4 muestra los perfiles simulados.

4.3 Cálculo de valores de longitud crítica

A partir de los perfiles de velocidad de la Figura 4, se calcularon nuevos valores de longitud crítica, para variaciones de velocidad desde la velocidad de entrada entre 10 y 30 km/h cada 5 km/h. Los resultados se resumen gráficamente en la Figura 5.

Figura 4. Perfiles de velocidad generados a partir de los modelos de Bester (2000) y Rakha et al. (2001)

 

Figura 5. Gráficos para el cálculo de longitud crítica en base a perfiles de velocidad simulados

 

La Tabla 1 resume los valores de longitud crítica para diferencias de velocidades de 15 y 25 km/h y diversas velocidades de entrada y RPP.

Tabla 1. Longitudes críticas de pendiente (en m)

 

4.4 Discusión de Resultados

A partir de los perfiles de velocidad de la Figura 4, se puede visualizar que en la medida que la RPP aumenta, la velocidad de trepada disminuye, por lo cual necesariamente la longitud crítica resulta menor, como se visualiza tanto en la Figura 5 como en la Tabla 1. Para la configuración de alto tonelaje (CAT) (RPP=263 kg/kW) se aprecia que la reducción de longitud crítica es entre un 40 y 70 % respecto del vehículo tipo utilizado actualmente en el Manual de Carreteras (RPP=120 kg/kW). Esto implica que prácticamente en todo el rango de pendientes los CAT requieren de pistas de ascenso cuando la longitud en pendiente es superior al rango de 150 a 320 m si se toma como referencia ΔV=25 km/h. En el caso del vehículo tipo de la normativa actual dicho rango es de entre 240 y 1130 m, y en el caso del vehículo representativo estimado por Arellano et al. (2014) el rango es entre 200 y 810 m.

Las Tablas 2 y 3 reúnen los valores de longitud crítica de las normas AASHTO (2011) y Manual de Carreteras (MOP, 2014) y los resultados de este trabajo, para un mismo vehículo tipo, RPP y velocidades de entrada similares.

La Tabla 2 muestra que para reducciones de velocidad de 15 y 25 km/h, el modelo propuesto presenta longitudes críticas menores a las establecidas en AASHTO. Para ΔV=15 km/h las diferencias van desde el 42 % para una pendiente de 3%, hasta un 16 % para una pendiente del 8%. Para ΔV=25 km/h las diferencias varían entre 38 % para una pendiente de 3%, hasta 11% para una pendiente de 8%. Esto implica que al usar el modelo de AASHTO en Chile se está sobreestimando la longitud crítica y por tanto sub-estimando la necesidad de pistas de ascenso.

Tabla 2. Valores de longitud critica en pendiente de AASHTO (2011) y este estudio

 

En la Tabla 3 se observa que para ΔV=40 km/h y pendientes entre 3 y 5 %, la propuesta de este estudio no restringe las longitudes de pendiente, por lo que no es posible realizar comparaciones. Para ΔV=40 km/h y pendientes del 6 a 8 %, las longitudes críticas resultaron mayores que las entregadas por el Manual de Carreteras. Las diferencias varían desde un 140 % para pendiente de 6 %, 57 % para pendiente de 7 % y 36 % para pendiente de 8%. Para ΔV=24 km/h, los valores propuestos son mayores que los entregados por el Manual de Carreteras. Las diferencias van desde un 21 % para una pendiente de 8% hasta 6 % para una pendiente del 4 %.

Tabla 3. Valores de longitud critica en pendiente de MOP (2014) y este estudio

 

 

5. Conclusiones

Este trabajo tuvo por objetivo proponer nuevos valores de longitud crítica en pendientes, en base a nuevos perfiles de velocidad simulados y considerando una mayor variedad de velocidades de entrada a la pendiente y relaciones peso/potencia.

Los resultados obtenidos muestran que la longitud crítica de pendiente depende del perfil de velocidad, el cual a su vez depende, además de la geometría en alzado, de la relación peso-potencia del vehículo y de la velocidad de entrada. Puesto que estas últimas 2 variables dependen de la flota de vehículos pesados y de la operación vehicular, no es recomendable establecer solo un grupo de valores para un vehículo típico, sino que más bien un grupo de valores que dé cuenta de la variabilidad de la velocidad de entrada, RPP y flota vehicular.

En este trabajo se analizó el caso de configuraciones de alto tonelaje (RPP=263 kg/kW). Esta configuración se ha adoptado en algunos países de Latinoamérica con el fin de producir ahorros en costos de transporte. En este trabajo se muestra que para estas configuraciones la necesidad de pistas de ascenso es sustancialmente mayor (entre 40 y 60 % mayor) que los vehículos pesados convencionales, por lo cual su eventual uso requerirá necesariamente una inversión en pistas de ascenso por motivos de seguridad.

En comparación con el Manual de Carreteras de Chile y usando el mismo vehículo tipo, los valores de longitud crítica propuestos en este trabajo resultan mayores. En promedio, para ΔV=24 km/h y ΔV = 40 km/h el modelo propuesto entrega valores 35% y 77% mayores. Se recomienda utilizar los valores propuestos en este estudio, puesto que considera más opciones de velocidad de entrada, utiliza un vehículo tipo similar a los que actualmente circulan por las carreteras de Chile y consideran un criterio de reducción de velocidad más estrictos, lo que redunda en una reducción del riesgo de accidentes.

Si bien Arellano et al calibraron un modelo en Chile, con el fin de aumentar la generalidad del modelo es necesario caracterizar los vehículos pesados en cuanto a relación peso potencia, para lo cual se requiere calibrar el modelo de Bester en terreno llano, con el fin de estimar en movimiento la relación peso- potencia y no de manera estática.

Otro aspecto a considerar para mejorar la estimación de la longitud crítica en pendiente es la validación del modelo de Glennon, ya que permite establecer de modo más certero cuales son los valores tolerables de accidentalidad y partir de dicha valoración establecer los valores de disminución de velocidad a utilizar para estimar la longitud crítica. Particularmente, en este trabajo se utilizaron los valores más universalmente recomendados en las normas de diseño geométrico (ΔV=15 km/h y ΔV = 25 km/h) y los utilizados por el Manual de Carreteras principalmente para fines comparativos (ΔV=24 km/h y ΔV = 40 km/h).

 

6. Referencias

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E-mail: techaveg@udec.cl

Profesor Asociado, Universidad de Concepción, Edmundo Larenas 219, Concepción, Región del Bio Bio.

Fecha de Recepción: 16/01/2015 Fecha de Aceptación: 26/03/2015 

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